Приклади

1. Для лінійного перетворення A, яким є поворот навколо осі Оz звичайного тривимірного простору, інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина хОу і вісь Оz.

2. Для лінійного перетворення A, яким є ортогональне проектування того ж простору на площину хОу,інваріантними підпросторами будуть: площина хОу; всі площини, що проходять через вісь Оz; сама вісь Оz; всі прямі площини хОу, що проходять через початок координат.

3. Для тотожного і нульового перетворень, які діють в довільному просторі, інваріантними є всі його підпростори.

4. При довільному лінійному перетворенні в довільному просторі сам простір і його підпростір, що складається із одного нульового вектора, є інваріантними.

Теорема 1. Перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного перетворення A, інваріантні відносно A.

Доведення.

а) Якщо підпростори V1 і V2 інваріантні відносно A і , то і , значить, і , тобто .

б) Якщо , то x=v1+v2, де , . Тоді і , звідки Aх= + ▲

Теорема 2. Якщо A – невироджене лінійне перетворення і V1 – підпростір, інваріантний відносно A, то V1інваріантний і відносно A -1.

Доведення.

Нехай е1, е2, …, еr – базис підпростору V1. Тоді вектори

Aе1, Aе2, …, Aеr, які із інваріантності V1 теж належать V1, теж лінійно незалежні і, значить, теж утворюють базис V1, тобто довільний вектор можна через цей базис виразити:


4572710753264294.html
4572793357908955.html
    PR.RU™